Cálculo Diferencial e Integral I Aula 01

1.0 Funções

Uma função relaciona elementos de um conjunto em outro conjunto, definida por uma lei de formação. 

1.1 Definição

Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f: A ->B é uma lei de formação que diz que a cada elemento de A existe um único correspondente em B.

1.2 Exemplo

Sejam A = {(1,2,3,4)} e B = {(5,6,7,8)} f: A -> B é uma função de A em B.

Para ser f ser considerada uma função é necessário que A só tenha um correspondente em B e todos os elementos de A tenham um correspondente em B, vejamos mais um exemplo:

No caso acima f: A -> B não é uma função, pois existe um elemento de A que não tem correspondente em B.

1.3 Definição

Seja f: A -> B. Seja x pertencente a A, o elemento f(x) é denominado valor da função no ponto x ou imagem de x segunda a lei de formação f. O conjunto A é chamado de domínio de f [D(f)].

1.4 Exemplo

Sejam A={(2,4,6,8)} e B={(1,2,3,4)} e f: A -> B uma função definida por f(x) = x/2.

Temos: a imagem do elemento 2 pertencente a A é o elemento 1 pertencente a B [f(2) = 1]

a imagem de 4 é 2 [f(4) = 2]

a imagem de 6 é 3 [f(6) = 3]

a imagem de 8 é 4 [f(8) = 4] .

1.5 Exercício resolvido

Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:

a) f(x) = 2x + 1

(i) nesse caso a função está definida para quaisquer valores de x, pois qualquer valor do domínio pode ser multiplicado por 2 e somado com 1, logo D(f) = R.

(ii) o conjunto imagem da função é dado por todos os elementos que são transformados pela lei de formação da função, é como se multiplicássemos o Reais por 2 e somássemos com 1 resultando nos próprios reais.

b) f(x) = 1/x

(i) sabemos que não se pode dividir um número por zero, então a única restrição para x é ele ser diferente de 0, logo o D(f) = R - {0}.

(ii) o conjunto imagem de f são todos os elementos que tem essa cara: 1/x, para qualquer valor de x ≠ 0, teremos uma Im(f) que nunca será igual a zero, Im(f) = R - {0}

c) f(x) = |x| (módulo de x)

(i) não há nenhuma restrição para o domínio da f, logo D(f) = R.

(ii) a função pega o valor em módulo de x, ou seja, |x| = x se x>0 ou |x| = x, se x<0, portanto a função vai transformar o x do domínio em um x positivo se antes ele era negativo, ou no próprio x caso ele já fosse positivo. Im(f) = vai de 0 até infinito.

1.6 Exercícios

1. Se f(x) = (x² - 4)/(x - 1), achar 

a) f(0)

b) f(1/t)

c) f(1/2)

d) f(- 2)

e) f(x - 2)

f) f(t²)

2. Exprimir como função de x:

a) A Área de uma esfera de raio x

b) A Área de um cubo de aresta x.

c) A Área total de uma caixa de volume dado V, sabendo que a base é um quadrado de lado x.

3. Dada a função f(x) = |x| - 2x, calcular f(-1), f(1/2) e f(-2/3). Mostrar que f(|a|) = -|a|.

4. Se f(x) = (ax + b)/(cx + d) e d = -a, mostre que f(f(x)) = x.

5. Se f(x) = x² + 2x, achar [f(a + h) - f(a)]h, h ≠ 0 e interpretar o resultado graficamente.